【究明】数学が得意な人と苦手な人は何が違うのか

高校数学


数学が苦手な人にとって、スラスラと問題が解けてしまう人はまるで宇宙人のようです。

あるいは、ほとんど内容の理解できない授業を展開する学校の先生に対してもそう感じているかもしれません。

恐らくそういった人たちに対して多くの人が抱く疑問が、「なんでそんなこと思いつくの?」ではないでしょうか。

鮮やかな式変形をしてみせたり、思いもよらない突破口から答えを導き出したりするのを見ていると、「自分と何が違うんだろう?」と一度は思ったことがあるはずです。

私は、数学が特別得意というわけではなく、そういう意味では、私より数学が得意な人にも苦手な人にもたくさん出会ってきたつもりです。

その中で私が感じる、数学が得意な人の”頭の中”をお話ししていきたいと思います。

これを知ってそれをもとにした勉強に取り組めば、あなたもきっと今より数学が得意になるはずです。

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数学を解くときの頭の使い方

多くの人が、数学では社会や古典のような暗記は求められず、それよりも頭を使うことの方が要求されるという認識を持っていると思います。

その考えは、間違いではありません。

では、具体的に頭をどのように使うことが求められているのか、そこまで考えたことはありますか?

よく言われるのは「思考力」というものです。

自分の持っている公式や定理を、目の前の問題にどう適用して切り崩していくか。そこに「思考」が必要であるとされるわけです。

しかし、数学ができる人の様子を見ていると、それとは少し違った印象を受けます。

彼らはもちろん「思考力」にも長けているのですが、それよりも根本的に数学の得意不得意を分けているのは「試行力」です。

つまり、様々なアプローチ、様々な計算をたくさん試行して、その中からうまくいくやり方を見つけるのに秀でているのです。

何も、イチから全てを考えだしているわけではありません。

もしイチから考える力のある人がいたとすれば、その人は微分や積分だって自力で発明して問題を解いていくでしょう。

そう考えると、数学ができる、宇宙人のように見える人でさえも、思考というより試行で解決しているのがお分かりいただけると思います。

つまり、数学の成績を上げたければ、最終的にはこの「試行力」を高めることがゴールです。

ではその「試行力」はどうやって鍛えるのでしょう。

「試行力」を支える土台となるのは何か、ということについて次は見ていきます。

「試行力」の土台は?

数学が苦手な人には、ある共通点があります。

数学が得意な人は、「試行力」の前の段階の「ある力」があるからたくさん試行できる。一方、苦手な人は「ある力」が弱いがために試行回数が少なくなってしまう。

「ある力」とは何か、分かりますか?

 

それは、計算力です。

実は数学が得意な人というのは、大量の計算を半ば無意識のレベルで行っていて、それが試行につながっています。

例を挙げて説明します。

数列\(\{a_n\}\)に対して、\(a_{n+1}=5a_n+2\cdot 3^n\)という漸化式を解くことを考えてみましょう。

第一手がパッと頭に浮かびますか?

正解は、両辺を\(3^{n+1}\)で割って\(\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{5}{3}\frac{a_n}{3^n}+\frac{2}{3}\)とし、数列\(\{b_n\}\)を\(b_n=\frac{a_n}{3^n}\)により定めて\(\{b_n\}\)についての漸化式\(b_{n+1}=\frac{5}{3}b_n+\frac{2}{3}\)にする、です。

数学が得意な人は、問題を見て1秒もしないうちにこの解法を思いついて手を動かし始めます。

そのスピードを可能にしているのが、計算力というわけです。

どうやってその発想に至るかは人それぞれですが、彼らに共通しているのは、頭の中で両辺を\(3^{n+1}\)で割ってみて、\(b_n=\frac{a_n}{3^n}\)と置ける未来が見えてくることです。

計算力を発揮して頭の中で試行し、そこから突破口を見つけているのです。

例えば\(\log_3 9x^2>1~(x\neq 0)\)を解く際にも、\(\log_3\)をバラして指数を下ろしてくるところまでが見えていて、
\begin{align}
\log_3 9x^2&>1 \\ \log_3 9+2\log_3 x&>1 \\ 2+2\log_3 x&>1 \\ \log_3 x&>-\frac{1}{2} \\ x&>\frac{1}{\sqrt{3}}
\end{align}
と解けるわけです。

計算力が「試行力」の土台となるということの意味、お分かりいただけたでしょうか。

必要な勉強

ではその計算力は、どうやって鍛えたら良いのでしょうか。

まず勘違いして欲しくないのが、ここで言っている計算力とは、100マス計算でトレーニングするようないわゆる四則演算をどれだけ速く正確にできるか、といった類のものではありません。

そうではなく、上の例で見たように、指数計算を当たり前にパッとこなせたり、\(\log\)の演算が身体に染みついたりしているような状態です。

言ってみれば、四則演算よりも高級な基礎計算を難なくこなせる能力です(100マス計算が速いかどうかは、高校数学にはあまり関係ありません)。

そして、この計算力を高めるには、とにかく基礎問題を数多くこなすしかありません。

学校の宿題で教科書の練習問題やワークの問題が出されませんか?

その中には、教科書の例題レベルの基礎的な計算問題も数多く含まれているはずです。

これを軽視してはいけません。

多くの人が「計算の仕方は分かってるって」と言って、このような基礎問題を軽く扱います。

しかしここまで読んだみなさんなら分かるはずです。

計算問題は、それが試験で単体で出題されたときに解ければ良いという次元のものではありません。

「試行力」の土台になるもの、つまり、自分の思い通りに「操れなければ」ならないものです。

時間制限を付けるなど、とにかく集中して計算問題には取り組んでください。

そのスピード感や定着レベルが、「試行力」のラインを決めると言っても過言ではありません。

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まとめ

以上、数学が得意な人が身につけている「試行力」、そしてそれを支える計算力についてお話ししてきました。

数学ができるかできないかは、才能ではありません。

正しい方向に努力すれば、必ず数学はできるようになります。

その第一歩として、計算力に磨きをかけることを心がけてみてください。

みなさんの今後を応援しています。

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