【頭の中】数Ⅱ「三角関数」公式の使い方、ただ1つのコツ

高校数学
三角関数、公式が多すぎて大変です…
とりあえず覚えても、どれをどこで使えば良いか分からない…
ご心配なく!
三角関数の公式の使い方には、実はルールがあります!

今回は、三角関数の問題を解く時の公式の使い方についてお話ししていきます。

頭の中でどういうことを考えて使う公式を決めるか、ということを中心に解説していくので、これを読めば、「ここが○○でここが××だからこの公式を使おう!」という判断がつきやすくなります。

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三角関数の公式の使い方

三角関数の公式を使う際に必ず考えなければならない鉄則、それは、角を揃えるということです。

「角」とはどういうことかというと、\(\sin \bullet\)、\(\cos \bullet\)というときの\(\bullet\)の部分。

\(\sin \frac{\pi}{3}\)だったら\(\frac{\pi}{3}\)、\(\cos 2\theta\)だったら\(2\theta\)です。

角を揃えることによって、式変形が進んだり問題が考えやすくなったりと、答えに向かって前進することができます。

では一体、角を揃えることを考えて公式を使うとはどういうことか、例を挙げて説明します。

公式の使い方~例~

この問題を考えてみましょう。

\(0\le \theta < \pi\)のとき、次の方程式を解け。
\[\frac{1}{2}\cos 4\theta – \sin^2 \theta = -\frac{1}{2}\]

 

どうでしょうか?

「\(4\theta\)」なんていうのが出てきてギョッとしていますか?

ちなみにこれは私の自作問題です。

私の主張を分かりやすいものにするために意地悪く「\(4\theta\)」を導入していますが、これから先こんな問題はあまり見ないと思います(笑)。

しかし「角を揃える」という原則に照らし合わせれば、こんな問題だって簡単です。

今、角は\(4\theta\)と\(\theta\)で揃っていません。

これを揃えることを考えます。

例えば\(2\theta\)に揃えることを目指しましょう。

そうなると、\(\cos 4\theta \to \cos 2\theta\)の変形には、倍角の公式

\[\cos 2\phi = 2\cos^2 \phi -1\]

が使えることに気付きます。

一方\(\sin\)の方は、\(\sin \theta \to \sin 2\theta\)の変形に半角の公式

\[\sin^2 \phi = \frac{1-\cos 2\phi}{2}\]

が使えます。

ここで、1つだけ注意があります。

それは、「角を変えたら、同時にその角の範囲を考えなければならない」ということです。

今の場合、もともとは\(0 \le \theta < \pi\)だったのですが、変更後の角\(2\theta\)の範囲はそれぞれの辺を2倍して\(0 \le 2\theta < 2\pi\)です。

これらを用いると、解答は下のようになります。

\(0 \le \theta < \pi\)より\(0 \le 2\theta < 2\pi\)が成り立つ。

\begin{align*}
\frac{1}{2}\cos 4\theta – \sin^2 \theta &= -\frac{1}{2} \\
\cos 4\theta – 2\sin^2 \theta &= -1 \\
(2\cos^2 2\theta -1) – 2 \cdot \frac{1-\cos 2\theta}{2} &= -1 \\
2\cos^ 2 2\theta + \cos 2\theta – 1 &= 0 \\
(2\cos 2\theta – 1)(\cos 2\theta + 1) &= 0 \\
\cos 2\theta &= \frac{1}{2},~-1
\end{align*}

\(0 \le 2\theta < 2\pi\)より、
\[2\theta = \frac{\pi}{3},~\pi,~\frac{5}{3}\pi\]
が従うので、答えは
\[\theta = \underline{\frac{\pi}{6},~\frac{\pi}{2},~\frac{5}{6}\pi}\]
である。

このようにして、「角を揃える」ことを意識すると、使う公式が見えやすくなってきます。

ちなみにこの問題は、角を\(\theta\)に揃えて解くこともできます。

それはみなさんの自習にお任せすることとします。

もちろん、答えは同じです(1つだけアドバイスをしておくと、\(0 \le \theta < \underline{\pi}\)という範囲をお忘れなく。下線部は\(\underline{2}\pi\)ではありません)。

  • 角を揃える
  • 同時に角の範囲も考える

なぜ角を揃えるとうまくいくのか

最後に簡単に、角を揃えると問題が解けるのかという話をします。

その答えは、角が揃っていると

  • 同じ関数はそのものが変数と見なせる
  • 違う関数は合成ができる

からです。

簡単のために\(\sin\)と\(\cos\)だけで考えます(\(\tan\)は\(\sin/\cos\)と考えれば同じようなことが言えます)。

まず1つ目の「同じ関数はそのものが変数と見なせる」というものですが、「同じ関数」というのは\(\sin\)どうし、\(\cos\)どうしということです。

上の問題も、角を\(2\theta\)で揃えたことによって、\(\cos 2\theta\)を1つの変数と見て式変形ができたわけです。

もう少し丁寧に説明すると、\(t=\cos 2\theta\)と置いて変形できるということです(上の解答例では置いていないですが、置こうと思ったらできますよね)。

\(\sin\)、\(\cos\)といった厄介なものを忘れて\(t\)と考えて進められる、これがうまくいく要因の1つです。

2つ目のポイントは、「違う関数は合成ができる」こと。

今回は出てきませんでしたが、\(\sin\)と\(\cos\)は

\[a \sin \theta + b \cos \theta = r \sin (\theta + \alpha)\]

を使って\(\sin\)にまとめることができます(\(r,\alpha\)は\(a,b\)で決まる定数)。

そうすると、複雑な式をスッキリさせることができて変形が進むわけです。

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まとめ

以上、三角関数の公式の使い方のコツをお話ししてきました。

例も交えて詳しく解説したので、何となく意味は分かったいただけたのではないかと思います。

ぜひ今日から「角を揃える」という思考を使ってみてください!

また、公式を「使いこなす」ことの大切さを、こちらに詳しく書いておきました。

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